手算平方根的「正确」方法，是什么方法？如果你认为是牛顿迭代法的话，你可以亲自试一下，看看效果如何：
其实牛顿迭代法非常好，在电脑上快得飞起。但是手算就不行了。
那么「正确」的方法是什么呢？是这个：
（原帖同上）
说得神神叨叨的，还能开无限小数，到底是什么方法？帖子里没说。
\(2\)的算术平方根是多少？是\(\sqrt{2}\).不是\(1.41\),也不是\(1.414213\).所以，本文讨论的计算，是以（十进制小数）近似值为主的。准确地说，是不足近似值。
近似值，无论是精确到小数点后1位还是1000位，都是近似值。所以，计算近似值，先得确定精度（即：你算到哪一位/数量级就满意了）。
先讨论对一位数开平方，精确到小数点后1位的情况（以计算\(\sqrt{2}\)为例）。
这一上来就有一个问题：大家都知道\(\sqrt{2}\)精确到一位小数是\(1.4\),但为是么是\(1.4\),不是\(1.3\)或\(1.5\)
显然，\(1.5^2>2\),不是我们要的不足近似值。而\(1.3^2<1.4^2<2\)所以在不过剩的情况下，最接近的（在给定精度范围内的）数是\(1.4\).
既然是这样的话，我们就可以把这个过程「概括」成这样一个问题的求解：
求最大的一位数\(x\),使得不等式\(\overline{1.x}^2\leqslant2\)成立。
求出\(x=4\)后，如果要继续提高精度，那么再求解这个问题：
求最大的一位数\(y\),使得不等式\(\overline{1.4y}^2\leqslant2\)成立。
（精度还可以继续提高）
……
这其实就是大家计算平方根最常用的方法，即「试乘」。但是计算\(\overline{1.x}\)的平方，是多位数乘多位数，不好算。而且随着精度增加，越来越难算（\(\overline{1.414213x}^2\)什么的，想想就要爆炸）。既然硬算不好算，那么就需要技巧。什么技巧呢？我们可以把式子变形一下，来降低运算的规模：
\((1+\frac{x}{10})^2\leqslant2\)(1)
把完全平方展开，得：
\(1+\frac{2x}{10}+\frac{x^2}{100}\leqslant2\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x}{10}+\frac{x^2}{100}\leqslant1\)
\(\Leftrightarrow20x+x^2\leqslant100\)
\(\Leftrightarrowx(20+x)\leqslant100\)
\(\Leftrightarrowx\cdot\overline{2x}\leqslant100\)(2)
这样，运算规模就从多位数乘多位数降低到了一位数乘多位数，立马好算了许多。
继续提高精度，求百分位上的数字\(y\)：
\((1+\frac{x}{10}+\frac{y}{100})^2\leqslant2\)
\(\Leftrightarrow{\left[(1+\frac{x}{10})+\frac{y}{100}\right]}^2\leqslant2\)
\(\Leftrightarrow(1+\frac{x}{10})^2+2(1+\frac{x}{10})\frac{y}{100}+\frac{y^2}{10000}\leqslant2\)
\(\Leftrightarrow2(1+\frac{x}{10})\frac{y}{100}+\frac{y^2}{10000}\leqslant2-(1+\frac{x}{10})^2\)
\(\Leftrightarrow2(1+\frac{x}{10})\frac{y}{100}+\frac{y^2}{10000}\leqslant2-(1+\frac{2x}{10}+\frac{x^2}{100})\)
\(\Leftrightarrow2(1+\frac{x}{10})\frac{y}{100}+\frac{y^2}{10000}\leqslant1-(\frac{2x}{10}+\frac{x^2}{100})\)
\(\Leftrightarrow20(10+x)y+y^2\leqslant100\left[100-(20x+x^2)\right]\)
\(\Leftrightarrowy\left[20(10+x)+y\right]\leqslant100\left[100-x(20+x)\right]\)
\(\Leftrightarrowy(20\cdot\overline{1x}+y)\leqslant100\left[100-x\cdot\overline{2x}\right]\)
\(\Leftrightarrowy(2\cdot\overline{1x0}+y)\leqslant100\left[100-x\cdot\overline{2x}\right]\)
\(\Leftrightarrowy\cdot\overline{\overline{(2\cdot\overline{1x})}y}\leqslant100\left[100-x\cdot\overline{2x}\right]\)(3)
代入\(x=4\)即可求出\(y\):
\(y\cdot\overline{28y}\leqslant100(100-4\cdot24)\)(4)
我们发现，(3)式的右侧，出现了与(2)式（移项后的一边）相同的部分，这个部分还被乘上了\(100\)。而(3)式左侧，跟\(2\)式左侧形式相同，都是未知数乘以已得到结果序列的两倍在末尾处添上这个未知数（即帖子中所说「多位数的位数是已开方位数加1」）。现在，其实已经可以归纳出规律，描述出一个完整的算法了。
但是，这时有些人就会不服：
**，这些破烂式子，都**什么意思啊？***为什么要把已得到的结果翻一倍啊？把上一步的不等式两边作差，再乘以100,又**是搞什么飞机？
对于这个开方法来说，如果只用代数去推导，确实会让人一头雾水。但是，一但用几何的方法直观地说明一下，这些步骤的意义就会非常明显。看了下面这个几何说明之后，你就会发现，这些看似「无厘头」的步骤，其实都是天经地义的。
看一下这张图（完全平方公式在正数情况下的几何证明）：
再看看这张图：
发现什么了吗？
刚才计算\(\sqrt{2}\)近似值的百分位的过程，实际上就是在这个面积为\(2\)的绿色大正方形中，割出一块边长为\(\overline{1.4x}\;(x=0,\;1,\;2,\;\cdots9)\)的小正方形，使\(x\)最大。而这个小正方形又可以被两条互相垂直的线切成四个部分。其中一个是边长为己经算出来的部分（精确到上一位的结果，即\(1.4\)）的正方形（蓝色），剩下的是两个矩形（橙色）和一个正方形（粉色）。
整个小正方形的边长是\(\overline{1.4x}\),蓝色正方形的边长为\(1.4\),所以橙色矩形的宽就是\(x\cdot10^{-2}\),长就是\(1.4\),粉色正方形的边长就是\(x\cdot10^{-2}\).
现在我们要求这个百分位，实际上就是要让小正方形在大小不超过大正方形的前提下，边长（面积）达到最大。怎么保证面积不超过大正方形呢？我们从大正方形的面积中减去蓝色正方形的面积，使两个橙色矩形和粉色正方形的面积和不超过这个面积差即可，即：
\(2S_{orange}+S_{pink}\leqslantS_{green}-S_{blue}\)
代入它们的值，可得：
\(2\times1.4\cdot(x\cdot10^{-2})+(x\cdot10^{-2})^2\leqslant2-1.4^2\)
\(\Leftrightarrow2\times1.4\cdot(x\cdot10^{-2})+x^2\cdot10^{-4}\leqslant2-1.4^2\)
\(\Leftrightarrow2\times1.4\cdot(x\cdot10^2)+x^2\leqslant10^4(2-1.4^2)\)
\(\Leftrightarrow20\times14x+x^2\leqslant10^4(2-(1+0.4)^2)\)
\(\Leftrightarrowx(280+x)\leqslant10^4(2-(1+0.8+0.16))\)
\(\Leftrightarrowx\cdot\overline{28x}\leqslant10^4(1-0.96)\)
\(\Leftrightarrowx\cdot\overline{28x}\leqslant100\times(100-96)\)
跟(4)式是不是完全一样？所以，这样一解释，那些步骤的意义就很明显了：
现在，我们就以计算\(\sqrt{3}\)、\(\sqrt{65536}\)和\(\sqrt{\frac{1}{3}}\)为例，完整地描述一下这个算法。
例1计算\(\sqrt{3}\),精确到百分位。
首先，在纸上像这样写出被开方数（被开方数的两位对应结果的一位）：
找到结果最高位的值（即，求最大的一位数\(x\),使\(x^2\leqslant3\)），写在横线上的对应位置上：
把\(x^2\)写到这一位下面，像做除法那样画道横线，作个差：
把后面两位的一组数拽下来补到刚算出的差后面：
把已经算出的结果翻倍（如果有小数点的话，还要去掉小数点），写在一旁：
前面添上一条横线和一个乘号，后面添上一条横线和一个小于等于号，得到一个不等式：
在每条横线上填一个尽量大的一位数（两条横线上是同一个数），同时保证不等式成立：
把这个一位数写在上面作为结果：
把乘法的结果写在下面（7×27=189），继续作差：
重复上述过程，直到达到所需精度：
例2计算\(\sqrt{65536}\).
与例1不同的是，这次最后一个不等式是正好取得等号的。取得等号，就说明得数已经是精确结果，不用再往下算了。
例3计算\(\sqrt{\frac{1}{3}}\),精确到千分位。
先把\(\frac{1}{3}\)转换为无限小数\(0.333\cdots\)，再开方：